Segunda visión geométrica compleja

Esta segunda visión compleja, nos dice que el cálculo del siguiente iterado complejo equivale a una iteración real del método. Para precisar algo más esta afirmación, vamos a fijar nomenclatura (a partir del iterado $z_k=x_k+iy_k$):

• Sea $\mbox{\boldmath {$v$}}_k=\nabla\vert f\vert(x_k,y_k)$.
• Consideremos la recta $r_k$ que pasa por $(x_k,y_k)$ y tiene dirección $\mbox{\boldmath {$v$}}_k$. Denotemos $r_k$ por $y=m_kx+b_k$.
• Consideremos la restricción de $\vert f\vert$ sobre $r_k$, que llamaremos $g_k$. Podemos considerarla como una función de una variable real con valores reales y expresarla mediante $g_k(\lambda)=\vert f(\lambda+i(m_k\lambda+b_k))\vert$.
• Apliquemos el Método de Newton real a la función $g_k$ en el punto $z_k$ (ésto es en $\lambda=x_k$). Obtenemos el punto $q_{k+1}$ sobre la recta $r_k$.
• Se cumple $q_{k+1}=z_{k+1}$. Este hecho se puede justificar de la siguiente manera: la dirección definida por los puntos $q_{k+1}$ (en el plano $Z=0$) y $(x_k,y_k,g_k(x_k))$, al ser tangente a la curva que determina $g_k$ en $z_k$, también está contenida en $T_k$. Por construcción, el vector $\stackrel{\longrightarrow\;\;\;\;}{z_kq_{k+1}}$ tiene la dirección del gradiente. Así pues, según la primera interpretación compleja, se cumple $q_{k+1}=z_{k+1}$.

En resumen, si $\pi_k$ denota el plano vertical que pasa por $z_k$ y contiene la recta $r_k$, el siguiente iterado $z_{k+1}$ se obtiene mediante el método clásico real aplicado a la restricción de $\vert f\vert$ en $\pi_k$. Estos comentarios se formalizan a continuación.

Segunda interpretación compleja (Corolario 1 en [8])
Sea $f$ analítica y $z_k=x_k+iy_k$ tal que $f(z_k)\neq0$, $f'(z_k)\neq0$. Con la misma notación anterior, supongamos que la recta $r_k$ viene parametrizada por $x=\lambda$, $y=m_k\lambda+b_k$. Entonces tenemos

$$\begin{array}{rcccl} g_k:\mathbb{R}&\longrightarrow& r_k&\lo... ...& g_k(\lambda)=\vert f(\lambda,m_k\lambda+b_k)\vert \end{array}$$

Entonces el Método de Newton $N_f$ en el punto $z_k$ es equivalente al método clásico $N_{g_k}$ en $x_k$, ésto es

$$z_{k+1}=N_f(z_k)=(x_{k+1},y_{k+1})=(N_{g_k}(x_k),m_kN_{g_k}(x_k)+b_k).$$

Vamos a generar los comandos para realizar los dibujos de esta segunda visión compleja. El plano vertical que pasa por z0 y el siguiente iterado puede generarse mediante

PlaP[exprz_, z0_] := Module[{v},
                            v=ZaXY[Iterf[Nf[exprz, z],z0,1]-z0];
                            Simplify[(x-Re[z0])*v[[2]]-(y-Im[z0])*v[[1]]]
                           ]

donde los comandos ZaXY[ ], Iterf[ ] y Nf[ ] se han definido antes. Así, la orden

pt = PlaP[z^3 - 1, 0.3 + 0.5*I]
0.0288351 - 1.03172 x + 0.561361 y

asigna a la variable pt la expresión simbólica (igualada a cero) de la relación que deben cumplir las coordenadas $(x,y)$ de un punto cualquiera de este plano. Para dibujar este plano, podemos utlizar la orden

ContourPlot3D[pt, {x,-1.5,1.5}, {y,-1.5,1.5}, {z,0.,2.}, PlotPoints->3]

que necesita el paquete ContourPlot3D. El resultado de juntar este plano con la superficie se muestra en la Figura 15.

Figura 15: Plano vertical

La restricción de $\vert f\vert$ sobre este plano la podemos dibujar a partir de buscar una parametrización suya. Así la dibuja el siguiente comando

Restr[exprz_, z0_, varx_, opt___] := Module[{sol, x2, x3},
    sol = Solve[PlaP[exprz, z0] == 0., y][[1]];
    x2 = Function[t, (y /. sol) /. {x -> t}];
    x3 = Function[t, (ModFz[exprz] /. sol) /. {x -> t}];
    ParametricPlot3D[{x, x2[x], x3[x]}, varx, opt]
    ]

Finalmente, para realizar el dibujo que nos confirmará esta interpretación en nuestro ejemplo, vamos a generar los segmentos (a trazos) que unen los puntos tridimensionales $(x_k,y_k,0)$, $(x_k,y_k,\vert f(x_k+iy_k)\vert)$ y $(x_{k+1},y_{k+1},0)$:

p = ZaXY[Nf[z^3 - 1, 0.3 + 0.5*I]]

Show[Graphics3D[{Dashing[{0.01, 0.01}], 
                 Line[{{0.3, 0.5, 0.},
                       {0.3, 0.5, ModFz[z^3 - 1] /. {x -> 0.3, y -> 0.5}},
                       {p[[1]], p[[2]], 0.}}]}]]

Juntando estos dibujos obtenemos la Figura 16.

Figura 16: Método clásico aplicado a la función $g$